根的判别式应用实例

在数学领域中，根的判别式是一个非常重要的概念，它可以帮助我们判断一元二次方程的根的性质。本文将详细介绍根的判别式及其应用实例，以帮助读者更好地理解和掌握这一数学工具。

一、根的判别式定义

根的判别式是指一元二次方程 ax^2+bx+c=0 中，系数 a、b、c 的一个关系式，即 b^2-4ac。根据根的判别式的值，我们可以判断一元二次方程的根的性质。

二、根的判别式应用实例

实例1：判断方程 x^2-3x+2=0 的根的性质。

解：根据根的判别式，我们有 b^2-4ac=(-3)^2-4\times1\times2=1。由于 b^2-4ac>0，所以方程有两个不相等的实数根。

实例2：判断方程 x^2+2x+1=0 的根的性质。

解：根据根的判别式，我们有 b^2-4ac=2^2-4\times1\times1=0。由于 b^2-4ac=0，所以方程有两个相等的实数根。

实例3：判断方程 x^2+3x+2=0 的根的性质。

解：根据根的判别式，我们有 b^2-4ac=3^2-4\times1\times2=-1。由于 b^2-4ac<0，所以方程没有实数根。

实例4：求解方程 x^2-5x+6=0 的根。

解：根据根的判别式，我们有 b^2-4ac=(-5)^2-4\times1\times6=1。由于 b^2-4ac>0，所以方程有两个不相等的实数根。根据求根公式，我们有：

x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{5+\sqrt{1}}{2}=3

x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{5-\sqrt{1}}{2}=2

因此，方程 x^2-5x+6=0 的根为 x_1=3 和 x_2=2。

实例5：判断方程 x^2-2x+5=0 是否有实数解。

解：根据根的判别式，我们有 b^2-4ac=(-2)^2-4\times1\times5=-16。由于 b^2-4ac<0，所以方程没有实数解。

实例6：判断方程 x^2-6x+9=0 的根是否为整数。

解：根据根的判别式，我们有 b^2-4ac=(-6)^2-4\times1\times9=0。由于 b^2-4ac=0，所以方程有两个相等的实数根。根据求根公式，我们有：

x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{6+\sqrt{0}}{2}=3

x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{6-\sqrt{0}}{2}=3

因此，方程 x^2-6x+9=0 的根为 x_1=3 和 x_2=3，均为整数。

通过以上实例，我们可以看到根的判别式在解决一元二次方程问题中的应用非常广泛。掌握根的判别式，有助于我们更好地理解和解决一元二次方程问题。